Modelos impossíveis sustentam a física, mas a matemática dá forma ao infinito, revelando a estrutura escondida em divergências aparentemente caóticas
Presença da sequência de Fibonacci no conjunto de Mandelbrot. O Conjunto de Mandelbrot é a representação visual mais famosa dos fractais, estruturas geométricas infinitamente complexas em que padrões se repetem em diferentes escalas. Os fractais estão amplamente presentes na natureza: aparecem nos padrões de plantas e vegetais, nos brônquios pulmonares, na ramificação dos raios durante as tempestades, em cristais de neve e no formato de rios, nuvens e cadeias montanhosas, por exemplo – Foto: Sepitropova / Wikimedia Commons
O infinito costuma marcar os limites da compreensão humana. Na matemática, ele surge naturalmente em equações e demonstrações; na física, porém, costuma ser visto como um sinal de alerta. Ainda assim, boa parte das teorias que descrevem o Universo depende justamente de modelos que produzem infinitos. Um trabalho em física matemática de pesquisadores do Instituto de Física de São Carlos (IFSC) da USP mostra como ferramentas matemáticas modernas conseguem tratar singularidades – pontos em que grandezas como massa, carga elétrica ou força parecem explodir até o infinito.
A partir da teoria de distribuições, Pedro de Castro Diniz, pesquisador do IFSC, oferece um guia matemático para lidar com funções singulares, objetos que deixam de ser bem definidos em determinados pontos. Um exemplo clássico envolve a gravidade: conforme a distância entre dois corpos diminui, a força gravitacional cresce vertiginosamente. Em modelos idealizados, quando a separação entre os corpos tende a zero, a intensidade da força explode para o infinito.
A teoria das distribuições possibilita manipular determinadas singularidades que surgem na física matemática. Por exemplo, a distribuição delta de Dirac, utilizada no trabalho publicado, é adequada para descrever diversos conceitos da física teórica, como uma massa pontual ou uma carga elétrica – Foto: Oleg Alexandrov / Wikimedia Commons
Para a física, porém, esse resultado não representa necessariamente um infinito “real”, mas um limite associado à forma como o sistema foi modelado. “As ferramentas da teoria de distribuições nos ajudam a tratar essas funções matemáticas ‘malcomportadas’. A descrição matemática possível dos problemas às vezes cria outros problemas. No caso das singularidades, de um lado ganhamos poder descritivo; de outro, criamos o problema do infinito nesse ponto. O trabalho que publicamos é sobre contornar esses problemas que costumam surgir ao descrever nossos modelos dessa forma”, afirma ao Jornal da USP Emanuel Alves de Lima Henn, orientador de Pedro Diniz e coautor do artigo Estrutura distribucional de derivadas singulares: aplicações em eletrostática e elasticidade.
Considere uma vaca esférica
A modelagem científica, muitas vezes, destitui um objeto de suas características mais marcantes. Ainda assim, essas construções matemáticas são extremamente úteis nas ciências, permitindo visualizar, compreender e operacionalizar uma vasta gama de fenômenos naturais – Foto: Keenan Crane (Nepluno) / Wikimedia Commons
Quando representamos a carga elétrica, a massa de um planeta ou a aplicação de uma força como concentradas em um único ponto do espaço, estamos fazendo uma idealização: reduzimos objetos extensos a entidades matemáticas sem volume.
Idealizações desse tipo estão no coração da modelagem científica. Entre os físicos, uma piada famosa conta que um fazendeiro, desesperado com a baixa produção de leite de suas vacas, procura ajuda de uma equipe de cientistas. Após semanas de estudos, o físico teórico sobe ao palco e anuncia: “Senhores, nós temos a solução! Mas ela só funciona para vacas esféricas no vácuo”.
Apesar do tom cômico, a piada revela algo profundo sobre a ciência. Grande parte do sucesso da física está justamente em reduzir fenômenos complexos a modelos simplificados, capazes de tornar o mundo mais compreensível, quantificável e previsível. Para isso, cientistas precisam decidir quais características de um sistema são relevantes para descrever determinado comportamento – e, nesse processo, muitos aspectos da realidade acabam deliberadamente ignorados.
O infinito aparece como consequência quase inevitável das idealizações que tornam a ciência possível. “Isso é profundamente característico da física como ciência”, afirma Emanuel Henn.
“Estamos tentando entender a natureza, que é extremamente complexa; se todos fatores fossem levados em conta, impediriam qualquer solução. Quando pensamos numa situação ideal, simplificamos o suficiente para poder resolver um problema específico. Depois, avançamos gradualmente na direção da complexidade, fazendo com que os modelos descrevam cada vez melhor a realidade”, detalha ele.
Para astronautas em órbita da Lua, por exemplo, imaginar a Terra como um ponto massivo funciona perfeitamente para calcular os efeitos gravitacionais sentidos pela nave. Já para a geografia, é necessário considerar montanhas, oceanos e irregularidades da crosta terrestre. Assim, um mesmo objeto pode admitir diferentes níveis de abstração na ciência, dependendo do fenômeno estudado – e, mesmo sem corresponder exatamente ao mundo real, esses modelos continuam extremamente eficazes.
A “Traição das Imagens”, obra surrealista do artista belga René Magritte. Em tom provocativo, a obra traz a inscrição Ceci n’est pas une pipe ou “Isto não é um cachimbo”, colocando, entre diversas outras interpretações, a reflexão sobre a distância entre as representações humanas do mundo e a realidade – Foto: Queen of Hearts / Wikimedia Commons
“A física não é a natureza; ela é uma descrição da natureza”, afirma Wagner Lannes, professor e pesquisador da Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri (UFVJM) em entrevista ao Jornal da USP. Segundo ele, a matemática também é uma aproximação que “não funciona por reproduzir fielmente o mundo, mas por criar formas organizadas de descrevê-lo”.
“Muitas vezes os matemáticos desenvolvem conceitos para resolver problemas internos da própria matemática, sem imaginar qualquer aplicação prática”, diz Lannes.
Assim como ocorreu com os números complexos, com uma parte “imaginária” acrescentada para permitir a solução de problemas específicos, e as geometrias não euclidianas – como a elíptica e a hiperbólica, que se dão fora de um espaço plano -, o infinito também passou por um longo processo de legitimação antes de se tornar uma ferramenta central da matemática. Para o pesquisador, esses exemplos mostram que abstrações aparentemente distantes da realidade podem revelar estruturas profundas do mundo natural.
O infinito, afinal, tem forma?
Como historiador da matemática, Wagner Lannes afirma que o modo como essa abstração foi transformada em uma ferramenta é resultado de uma construção histórica. “Não foi a matemática que passou a tratar o infinito. Foram comunidades de matemáticos que desenvolveram linguagens capazes de transformá-lo em algo que podia ser definido e comunicado.”
Desde os paradoxos de Zenão, na Grécia Antiga, até os infinitos de diferentes tamanhos propostos por Georg Cantor no século 19, o conceito esteve frequentemente cercado por controvérsias filosóficas e matemáticas. De acordo com o matemático, foi a linguagem que possibilitou tratar de forma consistente algo que parecia escapar à experiência cotidiana.
O paradoxo de Zenão, ou de Aquiles e a Tartaruga, propõe uma corrida em que a tartaruga larga na frente. Para alcançá-la, Aquiles precisaria primeiro chegar ao ponto onde ela estava; mas, nesse intervalo, ela já teria avançado um pouco mais. Esse processo pode continuar indefinidamente, pois Aquiles precisaria atravessar infinitos pontos intermediários. Justamente por isso, Aquiles jamais poderia alcançar ou até mesmo ultrapassar a tartaruga. Embora o argumento pareça fazer sentido no papel, ele entra em conflito direto com o que observamos na realidade. O erro do paradoxo está em presumir que o tempo para percorrer uma soma infinita de distâncias tenha que ser, também, infinito – Foto: Martin Grandjean / Wikimedia Commons
“A história do infinito é também uma história da linguagem”, resume Lannes.
Se a matemática aprendeu historicamente a domesticar o infinito por meio da linguagem, a física continua enfrentando situações em que ele reaparece como um problema concreto dos modelos utilizados. Pedro Diniz, autor do trabalho que encara o infinito em problemas da física, argumenta: “Não devem existir infinitos na natureza. O infinito sinaliza que provavelmente alguma coisa está sendo deixada de lado”.
Com a declaração, o pesquisador reforça que, na física, o surgimento de infinitos costuma sinalizar limites da modelagem utilizada. Apesar dessas limitações, a matemática continua sendo a principal linguagem da física. A confiança na matemática como linguagem da natureza acompanha a física moderna desde Galileu, que defendia a interpretação do mundo pela linguagem matemática: “O livro do Universo não pode ser compreendido sem antes aprender a língua e conhecer os caracteres nos quais está escrito. Ele está escrito em língua matemática, e os caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas”, escreveu.
O problema aparece quando o retrato possível da realidade desafia a intuição humana sobre continuidade, infinito e espaço. Nesses casos, formalismos como a teoria de distribuições permitem tratar situações em que os modelos tradicionais parecem perder sentido. O que antes parecia uma “monstruosidade” matemática, assombrando descrições físicas, passa a revelar uma necessidade: a de ampliar as ferramentas usadas para descrever a realidade.
De acordo com Pedro Diniz, não existem infinitos literais na natureza (como densidade infinita), mas eles aparecem com frequência quando os cientistas levam um modelo idealizado além da escala em que ele continua interpretável. “O interessante é que isso não torna o modelo inútil: muitas vezes, mesmo quando a descrição diverge (ou seja, quando aparece um ‘infinito’), a teoria ainda permite extrair uma quantidade física finita e bem definida. É justamente isso que a teoria de distribuições nos mostra. Conseguimos perceber que, na verdade, não há nenhum infinito físico ali”, afirma.
O pesquisador também destaca o valor pedagógico do trabalho. “Um professor que tive dizia que a matemática não pode ser um obstáculo para entender física, e essa frase permaneceu comigo. A contribuição da publicação está no ensino, porque ela desenvolve detalhadamente uma ideia complicada e integra vários aspectos de física matemática numa linguagem mais acessível. As distribuições singulares acabam surgindo naturalmente, e, por isso, acredito que o trabalho pode ser especialmente valioso para estudantes”, conta o autor.
Tudo num ponto
“Compreende-se que todos estivéssemos ali, […] e onde mais poderíamos estar? […] na verdade, não havia espaço nem mesmo para se estar espremido. Cada ponto de cada um de nós coincidia com cada ponto de cada um dos outros em um único ponto: aquele onde todos nós estávamos.”
É assim que Ítalo Calvino descreve, em As Cosmicômicas, a singularidade primordial anterior ao Big Bang, que deu origem ao Universo como o conhecemos.
Na física, algumas estruturas também recebem o nome de singularidade, e talvez a mais famosa delas seja o buraco negro. “As singularidades de que tratamos no trabalho, como pensar na carga elétrica, na massa inteira de um corpo ou numa força concentrada em um único ponto, são idealizações. Mais do que isso, esses exemplos têm cara de idealização. O tipo de singularidade do buraco negro, por outro lado, permanece indecifrável”, afirma Emanuel Henn.
Apesar de levarem o mesmo nome, as singularidades matemáticas e físicas pertencem a contextos diferentes. Na matemática, a singularidade é um conceito abstrato relacionado a funções e limites. Na física, aponta para curvaturas infinitas, densidade infinita ou forças infinitas, representando, na verdade, uma limitação das próprias teorias conhecidas – um sinal de que elas deixam de funcionar em condições extremas, indicando a necessidade de descrições mais abrangentes da natureza.
Segundo Wagner Lannes, na Grécia, o infinito era sobretudo uma ideia. Atualmente, conceitos como limite, tendência e infinitésimo colaboram para transformar o que era uma intuição filosófica num objeto matemático manipulável, constituindo uma mudança decisiva no desenvolvimento da matemática moderna.
“Uma Fita de Möbius”, obra surrealista do artista holandês M. C. Escher. A fita de Möbius é um objeto matemático (superfície topológica) não orientável. Ela parece ter dois lados e duas bordas, mas na verdade possui apenas um lado e uma única borda. Por isso, ao percorrer sua superfície, voltamos ao ponto de partida sem encontrar uma separação entre “dentro” e “fora” — uma metáfora clássica para continuidade e infinito – Foto: Dror Bar-Natan / Arquivo Pessoal
Tendo o infinito como elo, as singularidades revelam uma tensão antiga entre matemática e física. De acordo com Vinicius Carvalho, pesquisador em Filosofia da Física na Universidade Federal do Mato Grosso do Sul (UFMS), enquanto a matemática pode explorar livremente entidades abstratas, a física mantém um compromisso histórico com a observação e a experiência. “Os matemáticos podem ser audazes”, explica. “Os físicos também podem imaginar livremente, mas, em algum momento, suas teorias precisam voltar ao mundo observável.”
É justamente nesse ponto que as singularidades se tornam problemáticas. “A singularidade representa o fim da física”, afirma. Isso acontece porque, nesse ponto, desaparecem as próprias grandezas que a física procura descrever: espaço, tempo, massa e energia. O resultado é um objeto matemático puro: um ponto sem dimensão, que não possui propriedades físicas observáveis. Por isso, elas ocupam uma região de fronteira entre dois modos diferentes de compreender o mundo: de um lado, a abstração matemática; de outro, a exigência física de que as teorias mantenham algum vínculo com a experiência.
Ainda assim, o pesquisador ressalta que os infinitos têm um papel importante na construção das teorias. Eles permitem explorar possibilidades, formular hipóteses e desenvolver novos modelos, ajudando, inclusive, a resolver problemas do mundo real. Isso não significa, porém, que todos os elementos introduzidos por essas teorias possuem uma contraparte física observável.
“Toda física é matemática, mas nem toda matemática é física”, afirma Carvalho.
Entre idealizações, singularidades e abstrações, o infinito talvez revele menos sobre a existência de algo sem fim na natureza e mais sobre o processo de construção do conhecimento científico, num esforço contínuo para descrever um mundo que é sempre mais complexo do que as teorias que construímos para explicá-lo. Nas palavras de Einstein: “Uma coisa que aprendi numa longa vida: que toda a nossa ciência, confrontada com a realidade, é primitiva e infantil – e, no entanto, é o que temos de mais precioso”.
O artigo Estrutura distribucional de derivadas singulares: aplicações em eletrostática e elasticidade foi publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física e pode ser acessado neste link.
Mais informações: dinizcpedro@gmail.com, com Pedro de Castro Diniz
Texto: Sthephany Oliveira – Estagiária sob orientação de Luiza Caires
Arte: Livia Bortoletto – Estagiária sob orientação de Simone Gomes
Jornal da USP