Livro de professor da USP une teoria matemática, simulações e análise de dados, com contextualização histórica e resolução de exercícios
Sistemas de visão computacional utilizam modelos estatísticos para estimar a presença de objetos em imagens, produzindo acertos e também erros de classificação – Foto: Yuan Liao / Wikimedia Commons
Um aluno de Ciências da Computação descobre, logo no início do curso, que um processo estocástico é um modelo matemático para fenômenos aleatórios que ocorrem em sequências. A forma como esse processo é ensinado, no entanto, é um desafio para estudantes e professores, em uma disciplina com alto índice de reprovação. Disposto a tornar o aprendizado mais prático e intuitivo, Francisco Rodrigues, do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) da USP, lançou este ano o livro Probabilidade e Estatística: Teoria, Simulação e Dados. A obra é resultado de suas experiências de trabalho com alunos de áreas aplicadas.
Depois de uma década atuando como professor da disciplina de Processos Estocásticos, que estuda como variáveis aleatórias evoluem ao longo do tempo, ele percebeu que poderia facilitar o aprendizado dos seus alunos aproximando a teoria matemática da realidade por meio de simulações computacionais, escrevendo seu próprio livro sobre o tema.
“O computador pode simular a aleatoriedade, como, por exemplo, milhares de lançamentos de uma moeda equilibrada, para estudar a distribuição dos resultados de cara e coroa. Minha ideia com esse livro foi combinar a parte teórica da estatística com a computacional para fornecer ao aluno uma chance de experimentar com a probabilidade, botando a mão na massa”, afirma Francisco Rodrigues ao Jornal da USP.
Uma matemática da incerteza
O professor explica que o cálculo de incertezas demanda uma estrutura de raciocínio que, em geral, leva a resultados altamente contraintuitivos. Uma das hipóteses para isso é que o raciocínio probabilístico não foi uma habilidade central na maior parte da evolução humana, marcada pela necessidade de tomar decisões rápidas em ambientes incertos. Por causa disso, perguntas que envolvem a teoria das probabilidades encontram respostas que frequentemente causam estranhamento e curiosidade.
Por exemplo: em um grupo de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, qual é a chance que duas delas façam aniversário no mesmo dia?
Considerando que o ano tem pelo menos 365 dias, a maioria das pessoas conclui que a coincidência de aniversário nesse grupo é improvável. Mas a probabilidade tem uma resposta curiosa: a chance é de 50%. Para 57 ou mais pessoas, a probabilidade é maior do que 99%! Resultados como esse são realmente difíceis de visualizar, mas têm uma aceitação melhor quanto mais familiarizado você está com o estudo das incertezas.
Francisco Aparecido Rodrigues com seu novo livro – Foto: Reinaldo Mizutani / Comunicação ICMC
“No livro, eu tentei trazer vários exemplos interessantes, como a modelagem da propagação de epidemias e o paradoxo do aniversário, que tem um resultado completamente inesperado. Procurei desenvolver em detalhes as soluções para que o aluno pudesse compreender e se familiarizar com o raciocínio que está por trás das respostas às questões”, diz. A obra inclui exemplos ao longo dos capítulos, além de uma lista de exercícios e um solucionário completo, com suas respectivas soluções resolvidas em detalhes.
Breve história da estatística
Obra Soldados Jogando Cartas e Dados, do artista francês Valentin de Boulogne. Jogos de cartas e dados motivaram as primeiras formulações da teoria das probabilidades, origem de um campo que deu base à estatística moderna e, séculos depois, às inteligências artificiais – Foto: National Gallery of Art’s / Wikimedia Commons
Embora a matemática tenha origens pré-históricas e tenha sido desenvolvida de forma independente por diferentes sociedades ao redor do mundo, a estatística é um campo muito mais recente. Sua origem remonta ao século 17 em uma célebre troca de cartas entre dois gigantes da matemática, Pierre de Fermat e Blaise Pascal. Discutindo problemas relacionados a jogos de azar e apostas, os pesquisadores estabeleceram os fundamentos da teoria das probabilidades, que mais tarde se tornaria um dos pilares da estatística moderna.
Foi também motivado por entender estratégias de apostas que Girolamo Cardano se tornou um dos pioneiros no estudo das probabilidades. Quando chegou o momento de escolher sua profissão, Girolamo optou por ser médico, mas seu pai queria que ele fosse advogado e, por isso, não deu o dinheiro que o filho precisava para estudar. Diante disso, ele se dedicou ao estudo da aleatoriedade e desenvolveu formulações matemáticas da teoria das probabilidades para aprimorar suas estratégias de aposta e financiar os próprios estudos.
Diversos relatos interessantes fazem parte da história da estatística, mas permanecem, até hoje, praticamente desconhecidos. Francisco Rodrigues conta que outro componente fundamental do livro é sua dimensão histórica, que aparece como introdução de muitos capítulos. “Quando você estuda física, você fica sabendo quem é Newton, quem é Einstein, quem é Galileu. Em estatística os personagens são muito menos conhecidos, mas eles também têm histórias interessantes que merecem ser contadas.”
O Universo joga dados
Apesar de ser um campo relativamente recente na matemática, a estatística está presente no dia a dia das pessoas de diversas formas. Acessórios inteligentes são cada vez mais comuns e têm sua popularidade explicada, em grande parte, pela quantidade de dados personalizados que geram para o usuário. Além dos números pessoais, dados de toda natureza “pipocam” frequentemente na tela dos computadores e smartphones, no noticiário do jornal e em relatórios governamentais. Entender como relacionar essas informações, hoje em dia, se faz essencial para o exercício da cidadania, na leitura de um mundo cada vez mais digitalizado.
O professor Francisco Rodrigues, que também tem um blog e um canal no YouTube em que fala sobre ciência, explica que o novo livro parte de conceitos básicos de probabilidade, chegando à inferência estatística e ao aprendizado de máquina. Ferramentas de inteligência artificial, como os grandes modelos de linguagem, têm como fundamento justamente essa base em probabilidade e estatística que é construída na obra.
Função densidade de probabilidade para os primeiros orbitais do átomo de hidrogênio. O nível de energia para a ligação do elétron determina o orbital que ocupa, e a cor reflete a probabilidade de encontrar um elétron em determinada posição – Foto: PoorLeno / Wikimedia Commons
No fundo, os grandes modelos de linguagem, como o ChatGPT, fazem uma coisa muito simples: calculam a probabilidade da próxima palavra. É essa sucessão de previsões que cria a impressão de inteligência. A probabilidade, porém, vai muito além da inteligência artificial: ela está por trás da propagação de doenças e de fakenews, das estimativas de risco e de inúmeras decisões do cotidiano.
“Sem compreender conceitos básicos de probabilidade, navegamos pelo mundo sem um mapa”, afirma o autor.
Mas a probabilidade não é protagonista apenas na tecnologia. Nossa compreensão contemporânea da própria realidade também está profundamente ligada a ela. No nascimento da mecânica quântica, área da física que investiga como funciona a natureza em escalas menores que o átomo, o caráter probabilístico da teoria formulada principalmente por Niels Bohr e Werner Heisenberg surpreendeu até as maiores autoridades científicas da época.
Ao lançar um dado, usamos probabilidades porque desconhecemos todos os fatores que determinam o resultado que, em princípio, poderia ser previsto com exatidão. A mecânica quântica, porém, propõe algo mais radical: a probabilidade é uma característica fundamental da natureza, e os resultados de uma medição só podem ser descritos em termos de suas chances de ocorrer.
Grande parte das conclusões da mecânica quântica dialoga com a ideia de que a natureza é, em sua essência, aleatória. A proposta, porém, encontrou resistência. Após séculos de glória das teorias deterministas, muitos físicos relutaram em aceitar uma natureza intrinsecamente probabilística. Entre eles, estava Albert Einstein, que, em discordância com a interpretação de Copenhague, síntese das principais ideias sobre a realidade quântica, declarou a célebre frase: “Deus não joga dados”.
Fotografia histórica que mostra o encontro de Niels Bohr e Albert Einstein, retratados aqui na casa de Paul Ehrenfest em Leiden (dezembro de 1925). Os físicos tiveram uma longa disputa sobre o que a natureza probabilística da mecânica quântica implicava para a compreensão da realidade – Foto: Paul Ehrenfest / Wikimedia Commons
Einstein morreu sem aceitar totalmente os princípios da mecânica quântica que, atualmente, é conhecida como a teoria científica mais bem-sucedida da história.
Dos problemas de apostas aos algoritmos de inteligência artificial e à natureza da matéria, a probabilidade aparece como uma linguagem capaz de descrever fenômenos em escalas completamente diferentes. É essa amplitude que o livro procura explorar ao apresentar os fundamentos de uma área que, mais do que um ramo da matemática, tornou-se uma poderosa forma de compreender o mundo.
O livro Probabilidade e Estatística: Teoria, Simulação e Dados pode ser comprado neste link.
Mais informações: francisco@icmc.usp.br, com Francisco Rodrigues
Texto: Sthephany Oliveira, Estagiária sob orientação de Luiza Caires – Jornal da USP
Arte: Livia Bortoletto – Estagiária sob orientação de Simone Gomes – Jornal da USP